Modélisation et Calcul Scientifique
Modalités et déroulement des épreuves orales — Session 2026
Présentation de l'épreuve
L'épreuve orale de Modélisation et Calcul Scientifique demande au candidat une parfaite maîtrise théorique et pratique du programme, une capacité à programmer rapidement et efficacement, ainsi qu'une très bonne pédagogie.
L'objectif de cette épreuve est de :
- Étudier des situations concrètes, réfléchir aux diverses possibilités de les traduire mathématiquement et de proposer des solutions adaptées.
- Utiliser les outils mathématiques pour élaborer des modèles.
- Simuler sur machine en exploitant les logiciels fournis.
L'épreuve consiste en un exposé de modélisation mathématique construit à partir d'un texte proposé par le jury. Le candidat est amené à analyser le problème présenté, proposer un modèle mathématique pertinent, puis illustrer les résultats par des simulations informatiques.
L'épreuve de Modélisation et Calcul Scientifique couvre notamment les thèmes liés aux méthodes numériques et aux outils de calcul scientifique : résolution de systèmes linéaires, recherche de valeurs propres, résolution d'équations non linéaires, calcul d'intégrales, résolution d'équations différentielles, interpolation, simulation de lois de probabilité, discrétisation d'équations aux dérivées partielles, etc.
À l'aide des outils fournis, les candidats devront montrer leur capacité à :
- Mettre en œuvre avec précision et rigueur les concepts et outils mathématiques du programme soulevé dans le texte.
- Distinguer les représentations exactes ou approchées des objets mathématiques.
- Estimer le coût et les limitations des approches algorithmiques utilisées.
- Analyser la pertinence des modèles.
Modalités pratiques
Tirage au sort
Une cérémonie de tirage au sort est organisée à l'issue de laquelle chaque candidat reconnaît les dates et les horaires de ses différentes épreuves. Chaque candidat tire une enveloppe relative à l'épreuve de modélisation. L'enveloppe contient le sujet de l'épreuve, qui est un couplage de textes de modélisation, sans que ceux-ci ne soient dévoilés à ce moment-là. Le nom du candidat sera inscrit sur l'enveloppe, ainsi que la date et l'heure de son passage, et le candidat doit émarger pour confirmer la réception de l'enveloppe. L'enveloppe reste sous la protection du jury jusqu'à l'heure de l'épreuve.
Préparation du sujet
Le candidat reçoit son enveloppe contenant un couplage de textes de modélisation choisis parmi une liste d'environ 30 sujets connus à l'avance. Le candidat dispose de cinq minutes pour choisir l'un des deux textes qu'il souhaite préparer. Il dispose ensuite de quatre heures (4h) pour préparer son sujet. Pendant cette période, le candidat peut utiliser les livres de la bibliothèque de l'agrégation, sous format numérique, mis à sa disposition. L'accès à internet et à toute autre source électronique est strictement interdit.
Le candidat dispose également de documents fournis par le jury et disponibles à la bibliothèque du centre d'examen. Un ordinateur est fourni par le jury, équipé des logiciels nécessaires. Le jury fournit également des feuilles blanches, du papier brouillon et une clé USB vierge. Il est strictement interdit d'introduire tout autre support que ceux fournis par le jury.
Plan écrit
Le jury procède à la photocopie des plans préparés par les candidats, qui doivent être manuscrits, comportant au maximum 3 pages de format A4 avec une marge de 1 cm sur tous les côtés. Il est conseillé de soigner la présentation du plan écrit, de mettre des titres, d'encadrer les formules, etc. Les plans peuvent être complétés par une quatrième page consacrée uniquement aux figures. Le candidat peut utiliser sa copie du plan pendant toute l'épreuve.
Déroulement de l'épreuve 60 minutes
L'épreuve orale dure une heure et se déroule devant un jury formé d'au moins 3 examinateurs. Le candidat dispose de 35 minutes pour présenter un plan d'étude détaillé du sujet, suivi de 25 minutes d'entretien avec le jury au cours duquel celui-ci peut éventuellement poser des questions sur tout le programme des deux années de formation.
Le candidat dispose d'environ 5 à 10 minutes pour présenter le texte. Il doit notamment :
- Introduire le sujet et expliquer le contexte mathématique
- Mettre en évidence les idées principales
- Présenter l'organisation de l'exposé
Le jury accorde une grande importance à la clarté du plan, à la cohérence de la présentation et à la qualité pédagogique de l'exposé.
Le candidat propose un développement mathématique portant sur un point significatif du texte. Il doit proposer au moins deux développements possibles dans son plan, parmi lesquels le jury peut en choisir un. Le développement doit être clairement relié au texte étudié.
Une partie de l'exposé est consacrée à des illustrations informatiques ou des simulations numériques. Le candidat peut présenter des algorithmes, des simulations et des résultats numériques à l'aide des logiciels mis à disposition.
Le jury pose des questions relatives à l'exposé et au développement présenté. Ces questions peuvent porter sur des points techniques du texte, des applications ou des notions du programme en lien avec le sujet.
Le jury dispose d'environ 10 minutes supplémentaires pour discuter avec le candidat et approfondir certains aspects du sujet.
Programme de l'épreuve
Le programme comprend les thèmes cités dans les programmes des épreuves écrites, ainsi que les thèmes suivants :
Systèmes linéaires
Mise en œuvre de méthodes directes (pivot de Gauss, LU, Choleski), coût de calcul de ces méthodes ; mise en œuvre de méthodes itératives (Gauss-Seidel, Jacobi), mise en évidence de la vitesse de convergence.
Équations et systèmes non linéaires
Mise en œuvre des méthodes de Picard et de Newton, mise en évidence de la vitesse de convergence.
Intégration numérique
Méthode des trapèzes, des rectangles, de Simpson, du point milieu et utilisation des méthodes d'ordre élevé pour l'intégration numérique via les routines proposées par les logiciels.
Équations différentielles ordinaires
Mise en évidence numérique de propriétés qualitatives des solutions. Aspects numériques du problème de Cauchy : mise en œuvre par des méthodes numériques citées au programme de l'écrit, précision, consistance, stabilité, convergence, ordre. Utilisation de méthodes d'ordre élevé via les routines proposées par les logiciels.
Équations aux dérivées partielles (dimension 1)
Équation de transport (advection) linéaire : résolution à l'aide de la méthode des caractéristiques. Équations des ondes et de la chaleur : résolution par série de Fourier, transformée de Fourier et séparation des variables. Aspects qualitatifs élémentaires des EDPs : utilisation du théorème de Lax-Milgram. Exemples de discrétisation d'équations aux dérivées partielles en dimension 1 par la méthode des différences finies : notions de consistance, stabilité, convergence, ordre.
Optimisation et approximation
Interpolation linéaire par morceaux. Interpolation de Lagrange. Extremums des fonctions réelles de plusieurs variables réelles sans contraintes : mise en œuvre de l'algorithme de gradient à pas constant et à pas optimal pour une fonctionnelle quadratique. Extremums avec contraintes : multiplicateurs de Lagrange et mise en œuvre numérique par la méthode de Newton. Méthode des moindres carrés et applications.
Probabilités et Statistiques
Statistiques descriptives univariées et bivariées. Simulation de lois, application au calcul d'espérances. Utilisation de lois usuelles (loi multinomiale, hypergéométrique, Gamma, du χ²) pour modéliser des phénomènes aléatoires. Méthodes de simulation de variables aléatoires.
Chaînes de Markov
Propriétés de Markov faible et forte. Classification des états, transience, récurrence positive ou nulle. Communication entre états et irréductibilité. Mesure stationnaire (existence et unicité). Théorèmes de convergence : loi des grands nombres, apériodicité et convergence en loi. Exemple de la marche aléatoire simple.
Algorithmes algébriques élémentaires
Algorithme de Horner et évaluation de polynômes. Exponentiation rapide, algorithme d'Euclide étendu. Coût de ces algorithmes. Test de primalité de Fermat. Application au chiffrement RSA.
Critères d'évaluation
Remarques et recommandations
- S'entraîner à élaborer des exposés spécifiques adaptés à la nature de l'épreuve, en tenant compte du temps imparti et des différents aspects à mettre en évidence.
- Connaître et maîtriser les contenus des textes de la liste proposée, en prêtant une attention particulière à l'aspect algorithmique et aux développements informatiques des notions abordées.
- Veiller à une organisation rigoureuse et claire des exposés, en consacrant une portion équilibrée du temps au développement informatique.
- Faire preuve de rigueur mathématique en restituant correctement les hypothèses des théorèmes utilisés. Il est préférable d'indiquer les étapes cruciales d'un raisonnement plutôt que de s'engager dans un long calcul fastidieux qui risquerait de ne pas aboutir.
- Mettre en avant ses qualités pédagogiques lors de toutes les phases de l'exposé et de l'échange avec le jury.
- Procéder à un bon découpage du plan de la présentation en introduisant la problématique évoquée par le texte, en présentant le modèle mathématique, etc.
Résumé pratique
Matériel fourni
- Ordinateur avec logiciels scientifiques
- Feuilles blanches, brouillons, clé USB vierge
- Bibliothèque numérique de l'agrégation
Interdictions
- Téléphone et tout système communicant
- Documents personnels
- Accès internet
- Communication entre candidats
Apporter : convocation, stylo et Carte Nationale d'Identité (CNI) uniquement.