L’épreuve orale de Modélisation et Calcul Scientifique demande au candidat une parfaite maîtrise théorique et pratique de tout le programme, ainsi qu'une habileté à programmer rapidement et efficacement, ainsi qu'une très bonne pédagogie.
Les objectifs sont :

• Étudier des situations concrètes, réfléchir aux diverses possibilités de les traduire mathématiquement et de proposer des solutions adaptées.
• Utiliser les outils mathématiques pour élaborer des modèles.
• Simuler sur machine en exploitant les logiciels fournis.

Le candidat réalise son exposé de modélisation mathématique à partir d'un texte choisi lors du tirage au sort parmi la liste de sujets préalablement mise en ligne par le jury.

L’épreuve de Modélisation et Calcul Scientifique couvre le programme de l'écrit d'analyse numérique, du calcul symbolique et du calcul probabiliste.

A l’aide des outils fournis, les candidats devront montrer leur capacité à :

• Mettre en œuvre avec précision et rigueur les concepts et outils mathématiques du programme soulevé dans le texte.
• Distinguer les représentations exactes ou approchées des objets mathématiques.
• Estimer le coût et les limitations des approches algorithmiques utilisées.
• Analyser la pertinence des modèles.

En particulier, les épreuves amènent à effectuer des calculs numériques, symboliques et probabilistes. En utilisant les logiciels fournis, les candidats pourront mener des opérations d’intégration et de différentiation, des calculs (approchés) de sommes et d’intégrales, résoudre des équations algébriques et différentielles, résoudre des systèmes linéaires et des équations non linéaires, déterminer des éléments caractéristiques de matrices, simuler des variables aléatoires dans différents contextes probabilistes, etc.

A cet effet, le candidat dispose d’une bibliothèque numérique. En plus du développement théorique du contenu, le candidat est amené à faire des illustrations pratiques.

Le programme de cette épreuve comprend les thèmes cités dans les programmes des épreuves écrites, ainsi que ceux cités ci-dessous.

Systèmes linéaires:

Mise en œuvre de méthodes directes (pivot de Gauss, LU, Choleski), coût de calcul de ces méthodes ; mise en œuvre de méthodes itératives (Gauss-Seidel, Jacobi), mise en évidence de la vitesse de convergence.

Équations et systèmes non linéaires:

Mise en œuvre des méthodes de Picard et de Newton, mise en évidence de la vitesse de convergence.

Intégration numérique:

Méthode des trapèzes, des rectangles, du point milieu et utilisation des méthodes d’ordre élevé pour l’intégration numérique via les routines proposées par les logiciels.

Équations différentielles ordinaires:

Mise en évidence numérique de propriétés qualitatives des solutions. Aspects numériques du problème de Cauchy : mise en œuvre par des méthodes numériques citées au programme de l'écrit, précision, consistance, stabilité, convergence, ordre.
Utilisation de méthodes d’ordre élevé via les routines proposées par les logiciels.

Notions élémentaires sur les équations aux dérivées partielles classiques en dimension un

Équation de transport (advection) linéaire : résolution à l'aide de la méthode des caractéristiques. Équations des ondes et de la chaleur : résolution par série de Fourier, transformée de Fourier et séparation des variables. Aspects qualitatifs élémentaires des EDPs : utilisation du théorème de Lax-Milgram. Exemples de discrétisation d’équations aux dérivées partielles en dimension un par la méthode des différences finies : notions de consistance, stabilité, convergence, ordre.

Optimisation et approximation:

Interpolation linéaire par morceaux. Interpolation de Lagrange. Extremums des fonctions réelles de plusieurs variables réelles sans contraintes : mise en œuvre de l’algorithme de gradient à pas constant. Mise en œuvre de l’algorithme de gradient à pas optimal pour une fonctionnelle quadratique. Extremums des fonctions réelles de plusieurs variables réelles avec contraintes : multiplicateurs de Lagrange et mise en œuvre numérique par la méthode de Newton. Méthode des moindres carrés et applications.

Probabilités, Statistiques:

Statistiques descriptives univariées. Statistiques descriptives bivariées. Chaînes de Markov. Simulation de lois, application au calcul d’espérances.

Tirages aux sorts

Une cérémonie de tirage au sort est organisée à l'issue de laquelle chaque candidat reconnaît les dates et les horaires de ses différentes épreuves. Ensuite, chaque candidat tire une enveloppe relative à chaque épreuve, y compris celle de modélisation. L'enveloppe contient le sujet de l'épreuve, qui est un seul texte de modélisation, sans que ce dernier ne soit dévoilé à ce moment-là. Le nom du candidat sera inscrit sur l'enveloppe, ainsi que la date et l'heure de son passage, et le candidat doit émarger pour confirmer la réception de l'enveloppe. L'enveloppe reste sous la protection du jury jusqu'à l'heure de l'épreuve.

Préparation du sujet

Le candidat reçoit son enveloppe contenant un seul sujet (un texte de modélisation) choisi parmi une liste d'environ 30 sujets connus à l'avance. Une liste non exhaustive de ces sujets est détaillée dans cette page. Le candidat dispose de quatre heures (4h) pour préparer son sujet. Pendant cette période de préparation, le candidat peut utiliser les livres de la bibliothèque de l'agrégation, sous format numérique, qui sont mis à sa disposition. Cependant, l'accès à internet et à toute autre source électronique est strictement interdit.

Le candidat dispose également de documents fournis par le jury et disponibles à la bibliothèque du centre d'examen. De plus, un ordinateur est fourni par le jury, équipé des logiciels nécessaires pour effectuer les travaux demandés. Le jury fournit également au candidat des feuilles blanches, du papier brouillon, et une clé USB vierge.

Il est important de noter qu'il est strictement interdit d'introduire tout autre support que ceux fournis par le jury. Les candidats sont censés être familiers avec les logiciels et les ordinateurs fournis pour réaliser l'épreuve.

Précaution

Les candidats sont responsables de la sauvegarde des résultats qu'ils souhaitent conserver pendant l'épreuve, afin de se prémunir contre les pannes matérielles et logicielles. Ils doivent suivre les indications du jury, qui peut conseiller des sauvegardes supplémentaires par des méthodes adaptées pour accroître la fiabilité.

Le jury procède à la photocopie des plans préparés par les candidats, qui doivent être manuscrits, comportant au maximum 3 pages de format A4 et possédant une marge de 1 cm sur tous les côtés afin d'éviter tout problème lors de la photocopie. Il est conseillé de soigner la présentation du plan écrit, de mettre des titres, d'encadrer les formules, etc.

Les plans peuvent être complétés par une quatrième page consacrée uniquement aux figures. Il faut noter clairement, sur le plan, les développements proposés. Le candidat peut utiliser sa copie du plan pendant toute l'épreuve et pourra utiliser les notes manuscrites qu'il avait produites durant la préparation.

L'épreuve orale dure une heure et se déroule devant un jury formé d'au moins 3 examinateurs. Le candidat dispose de 35 minutes pour présenter au jury un plan d'étude détaillé du sujet qu'il a choisi, suivi de 25 minutes d'entretien avec le jury au cours duquel celui-ci peut éventuellement poser des questions sur tout le programme des deux années de formation. L’épreuve orale s'organise selon les modalités suivantes.

Première partie : Présentation du sujet

Dans cette première phase de l'épreuve, le candidat est invité à utiliser son temps de parole, qui est de 5 minutes, pour présenter, argumenter, mettre en valeur et faire une synthèse de son texte. Pour cette partie de l'épreuve, le candidat devrait imaginer qu'il doit introduire à un auditoire, pendant 5 minutes, un texte destiné ensuite à être développé sur plusieurs séances.

Il est important pour le candidat de discuter de plusieurs aspects du texte, notamment :

• L'intérêt du sujet et sa place dans le paysage mathématique plus large.
• L'articulation des différentes sections du texte.
• L'explication et la motivation des enchaînements.
• La hiérarchisation des résultats et des difficultés.
• Les enjeux didactiques du texte, c'est-à-dire l'ordre et la manière de présenter les concepts pour assurer la cohérence, la compréhension et l'efficacité pédagogique.
• La mise en évidence des difficultés, le rôle des hypothèses et des applications illustrant l'intérêt des résultats.
• L'utilisation éventuelle de figures pour expliquer les idées principales.

Le jury n'attend pas des plans absolument originaux, mais il cherche une structure bien organisée, maîtrisée par le candidat et comprenant une quantité substantielle de mathématiques. Il est important que le candidat explique pourquoi il adopte cette présentation.

Les dessins sont recommandés lorsque cela est pertinent, notamment pendant le développement, car ils sont un moyen efficace pour faire saisir l'idée d'une preuve ou motiver une méthode.

L'épreuve étant orale, le document écrit transmis au jury sert de base pour la discussion et constitue un fil conducteur pour la partie consacrée au dialogue et aux questions. Le jury attache une grande importance à la maîtrise du plan, qui intervient de manière substantielle dans la grille de notation. Le candidat doit montrer qu'il comprend les résultats exposés ainsi que l'organisation générale du sujet. Il est souhaitable que le candidat connaisse les grandes lignes des démonstrations des résultats figurant au programme du concours.

À la fin de cette présentation, le jury peut poser très brièvement quelques questions techniques, sans entrer dans des détails qui retarderaient le début du développement.

Deuxième partie : le développement théorique de 20 min

Le jury veille à la cohérence du plan et des propositions de développements. Il est important que le candidat propose au moins deux développements en adéquation avec le texte et compatibles avec le programme de l'agrégation. Les résultats utilisés pour mener à bien le développement doivent être clairement cités dans le plan présenté par le candidat. Le souci pédagogique, la pertinence des explications et la capacité à mener à bien et complètement le développement dans le temps imparti sont des éléments importants d'appréciation. De plus, le candidat doit s'attendre à être interrogé lors de la période de discussion sur des applications ou illustrations élémentaires de son développement.

Le développement doit être en lien direct avec le thème du sujet présenté. L'utilisation d'un résultat qui n'apparaît pas dans le plan écrit doit être explicitement signalée par le candidat. Toute utilisation d'un lemme non démontré et qui est essentiel à la preuve est sanctionnée. Le jury peut exiger la démonstration d'un lemme admis s'il est essentiel pour le développement. Il faut éviter de présenter ou d'utiliser un résultat préliminaire ou intermédiaire sans explication convaincante.

Lors du développement, le jury attend du candidat des explications sur le déroulement de la preuve et l'intervention pertinente des notions développées durant l'exposé oral. Il peut être opportun, lors du développement, de se référer explicitement au plan présenté. Le jury apprécie également une brève explication de la démarche au début du développement.

La récitation d'un développement est fortement sanctionnée ; le jury veille à ce que les futurs enseignants comprennent ce qu'ils exposent et sachent exposer ce qu'ils comprennent. C'est une qualité essentielle d'un futur agrégé.

Dans le cas d'un développement difficile, il ne faut pas négliger les cas élémentaires et les détails utiles à la compréhension du jury.

Illustrations pratiques et simulations :

Un développement de 10 minutes maximum est alloué pour présenter les éventuelles illustrations pratiques et simulations exploitant l'outil informatique. Ensuite, 10 minutes sont réservées pour les questions et discussions avec le jury.

Questions du Jury :

Au total, le jury dispose de 25 minutes de questions et peut éventuellement proposer un ou plusieurs développements. Le jury intervient à son gré au cours de l'exposé du candidat et conduit le dialogue avec le candidat. Cependant, afin de ne pas déstabiliser le candidat, le jury s'abstiendra d'intervenir pendant les dix premières minutes de l'exposé.

Recommandations spéciales :

À la fin de l'épreuve, tous les supports écrits utilisés par le candidat sont détruits et tous les supports informatiques utilisés sont remis au jury.

Interdictions :

Sont interdits les téléphones portables ou tout système communicant, ainsi que les documents personnels. Les candidats auront à amener leur convocation, un stylo et leur Carte Nationale d'Identité (CNI) uniquement. Il est interdit aux candidats de communiquer entre eux durant les épreuves ; ceci concerne également toutes les formes de communications utilisant les ordinateurs, leurs logiciels, les réseaux et supports informatiques. Il est aussi interdit aux candidats de communiquer avec des tiers par tout procédé de télécommunication ou de consultation de données à distance.

Les critères d'évaluation de l'épreuve comprennent :

Plan:

Cohérence, lien avec le texte, couverture du sujet ....

Exposé:

Clarté, élocution, organisation, interaction avec le jury, respect du temps imparti, aspects pédagogiques, ...

Connaissances Mathématiques:

Reconnaissance des éléments du programme, précision et rigueur des énoncés des résultats mathématiques soulevés dans le sujet choisi, élaboration juste des démonstrations des résultats mathématiques énoncés dans le texte.

Modélisation:

Capacité à commenter la formalisation du problème, à proposer un modèle mathématique, à critiquer les hypothèses d'un modèle.

Développement:

Capacité à prouver correctement des résultats théoriques en mettant en valeur les points essentiels.

Illustration informatique:

Maîtrise des algorithmes et méthodes numériques du programme de calcul scientifique, utilisation des routines des logiciels fournis, exploitation des résultats et des simulations. ...

Remarques et recommandations :

Pour bien se préparer à l'épreuve de modélisation et calcul scientifique, il est important de suivre ces recommandations :

1. S'entraîner à élaborer des exposés spécifiques adaptés à la nature de l'épreuve, en tenant compte du temps imparti et des différents aspects à mettre en évidence.
2. Connaître et maîtriser les contenus des textes de la liste proposée pour l'épreuve, en prêtant une attention particulière à l'aspect algorithmique et aux développements informatiques des notions abordées.
   Il est important de noter que la liste des textes donnée est à titre indicatif ; le jury se réserve le droit de proposer d'autres textes ou de modifier la formulation des sujets figurant sur la liste. Les candidats doivent donc être prêts à s'adapter à toute éventualité et à démontrer leur maîtrise des concepts mathématiques et de la modélisation dans divers contextes.
3. Veiller à une organisation rigoureuse et claire des exposés, en consacrant une portion équilibrée du temps au développement informatique.
4. Faire preuve de rigueur mathématique en restituant correctement les hypothèses des théorèmes utilisés. Il est préférable d'indiquer les étapes cruciales d'un raisonnement plutôt que de s'engager dans un long calcul fastidieux qui risquerait de ne pas aboutir.
5. Mettre en avant ses qualités pédagogiques lors de toutes les phases de l'exposé et de l'échange avec le jury.
6. Procéder à un bon découpage du plan de la présentation en introduisant la problématique évoquée par le texte, en présentant le modèle mathématique, etc.