Lecons d'analyse et probabilités.
SESSION 2024
Il est important de noter que la liste des leçons donnée est à titre indicatif ; le jury se réserve le droit de proposer d'autres leçons ou de modifier la formulation des sujets figurant sur la liste. Les candidats doivent donc être prêts à s'adapter à toute éventualité et à démontrer leur maîtrise des concepts mathématiques.
- Espaces de fonctions d'une variable réelle ou complexe.
- Exemples de parties denses et applications.
- Utilisations de la notion de compacité.
- Convexité, connexité. Applications.
- Exemples et applications de la complétude.
- Théorèmes du point fixe. Exemples et applications.
- Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
- Espaces de HILBERT. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.
- Approximation d'une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.
- Applications différentiables définies sur un ouvert de \(\mathbb{R}^{n}\). Exemples et applications.
- Applications des formules de TAYLOR.
- Problèmes d'extremums. Exemples et applications.
- Equations différentielles \(X^{\prime}=f\left( t,X\right)\). Exemples d'études qualitatives des solutions.
- Equations et systèmes différentielles linéaires. Exemples et applications.
- Théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites. Applications.
- Fonctions vectorielles d'une variable réelle.
- Suites numériques. convergence, étude asymptotique. Exemples et applications.
- Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.
- Comportement d'une suite réelle ou vectorielle définie par une itération \(u_{n+1}=f\left( u_{n}\right) \). Exemples.
- Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et contre-exemples.
- Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
- Séries numériques. Comportement des restes et des sommes partielles. Exemples.
- Espaces \(L^{p},\) \(\ 1\leq p\leq+\infty.\)
- Interversion limite intégrale. Exemples et applications.
- Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.
- Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
- Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
- Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de \(\mathbb{C}\). Exemples et applications.
- Séries de FOURIER. Exemples et applications.
- Indépendance d'évènements et de variables aléatoires. Exemples.
- Suite de variables aléatoires indépendantes.
- Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.
- Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.
- Loi des grands nombres. Théorème central limite. Applications.
- Fonctions caractéristiques. Propriétés et applications.
- Modes de convergence d'une suite de variables aléatoires (convergence en loi, convergence en probabilité et convergence presque sûre).
- Exemples et applications des séries entières en probabilité et en dénombrement.
- Utilisation des intégrales et des séries en probabilités.