Lecons d'analyse et probabilités.

SESSION 2024

Il est important de noter que la liste des leçons donnée est à titre indicatif ; le jury se réserve le droit de proposer d'autres leçons ou de modifier la formulation des sujets figurant sur la liste. Les candidats doivent donc être prêts à s'adapter à toute éventualité et à démontrer leur maîtrise des concepts mathématiques.
  1. Espaces de fonctions d'une variable réelle ou complexe.
  2. Exemples de parties denses et applications.
  3. Utilisations de la notion de compacité.
  4. Convexité, connexité. Applications.
  5. Exemples et applications de la complétude.
  6. Théorèmes du point fixe. Exemples et applications.
  7. Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
  8. Espaces de HILBERT. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.
  9. Approximation d'une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.
  10. Applications différentiables définies sur un ouvert de \(\mathbb{R}^{n}\). Exemples et applications.
  11. Applications des formules de TAYLOR.
  12. Problèmes d'extremums. Exemples et applications.
  13. Equations différentielles \(X^{\prime}=f\left( t,X\right)\). Exemples d'études qualitatives des solutions.
  14. Equations et systèmes différentielles linéaires. Exemples et applications.
  15. Théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites. Applications.
  16. Fonctions vectorielles d'une variable réelle.
  17. Suites numériques. convergence, étude asymptotique. Exemples et applications.
  18. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.
  19. Comportement d'une suite réelle ou vectorielle définie par une itération \(u_{n+1}=f\left( u_{n}\right) \). Exemples.
  20. Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et contre-exemples.
  21. Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
  22. Séries numériques. Comportement des restes et des sommes partielles. Exemples.
  23. Espaces \(L^{p},\) \(\ 1\leq p\leq+\infty.\)
  24. Interversion limite intégrale. Exemples et applications.
  25. Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.
  26. Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
  27. Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
  28. Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de \(\mathbb{C}\). Exemples et applications.
  29. Séries de FOURIER. Exemples et applications.
  30. Indépendance d'évènements et de variables aléatoires. Exemples.
  31. Suite de variables aléatoires indépendantes.
  32. Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.
  33. Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.
  34. Loi des grands nombres. Théorème central limite. Applications.
  35. Fonctions caractéristiques. Propriétés et applications.
  36. Modes de convergence d'une suite de variables aléatoires (convergence en loi, convergence en probabilité et convergence presque sûre).
  37. Exemples et applications des séries entières en probabilité et en dénombrement.
  38. Utilisation des intégrales et des séries en probabilités.