Lecons d'algèbre et géométrie.

SESSION 2024

Il est important de noter que la liste des leçons donnée est à titre indicatif ; le jury se réserve le droit de proposer d'autres leçons ou de modifier la formulation des sujets figurant sur la liste. Les candidats doivent donc être prêts à s'adapter à toute éventualité et à démontrer leur maîtrise des concepts mathématiques.
  1. Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
  2. Groupe cyclique. Exemples et applications
  3. Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
  4. Groupes finis. Exemples et applications.
  5. Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
  6. Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie, sous-groupes de \(G L(E)\). Applications.
  7. Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
  8. Anneaux \(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}\). Applications.
  9. Nombres premiers. Applications.
  10. Anneaux principaux. Anneaux euclidien. Exemples et applications
  11. Corps finis. Applications.
  12. Extensions de corps. Exemples et applications.
  13. Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
  14. Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
  15. Exemples de décompositions de matrices. Applications.
  16. Éléments propres d'un endomorphisme. Exemples de calculs. Applications.
  17. Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
  18. Déterminant. Exemples et applications.
  19. Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
  20. Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
  21. Endomorphismes diagonalisables en dimension finie. Applications
  22. Exponentielle de matrices. Exemples et Applications.
  23. Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents. Applications
  24. Endomorphismes cycliques. Endomorphismes simples . Exemples et applications
  25. Endomorphismes semi-simples. Exemples et applications
  26. Matrices équivalentes. Matrices semblables. Exemples et applications.
  27. Matrices symétriques réelles
  28. Matrices hermitiennes.
  29. Formes linéaires, dualité en dimension finie. Exemples et applications.
  30. Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
  31. Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel hermitien (de dimension finie).
  32. Distances dans un espace euclidien. Exemple et applications
  33. Classifications des isométries d'un espace euclidien. Exemples
  34. Systèmes d'équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
  35. Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie ( sur un corps quelconque). Orthogonalité, isotropie. Applications.
  36. Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
  37. Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
  38. Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
  39. Ensembles au plus dénombrables. Exemples et applications
  40. Exemples d'équations en arithmétiques