Lecons d'algèbre et géométrie.
SESSION 2024
Il est important de noter que la liste des leçons donnée est à titre indicatif ; le jury se réserve le droit de proposer d'autres leçons ou de modifier la formulation des sujets figurant sur la liste. Les candidats doivent donc être prêts à s'adapter à toute éventualité et à démontrer leur maîtrise des concepts mathématiques.
- Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
- Groupe cyclique. Exemples et applications
- Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
- Groupes finis. Exemples et applications.
- Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
- Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie, sous-groupes de \(G L(E)\). Applications.
- Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
- Anneaux \(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}\). Applications.
- Nombres premiers. Applications.
- Anneaux principaux. Anneaux euclidien. Exemples et applications
- Corps finis. Applications.
- Extensions de corps. Exemples et applications.
- Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
- Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
- Exemples de décompositions de matrices. Applications.
- Éléments propres d'un endomorphisme. Exemples de calculs. Applications.
- Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
- Déterminant. Exemples et applications.
- Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
- Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
- Endomorphismes diagonalisables en dimension finie. Applications
- Exponentielle de matrices. Exemples et Applications.
- Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents. Applications
- Endomorphismes cycliques. Endomorphismes simples . Exemples et applications
- Endomorphismes semi-simples. Exemples et applications
- Matrices équivalentes. Matrices semblables. Exemples et applications.
- Matrices symétriques réelles
- Matrices hermitiennes.
- Formes linéaires, dualité en dimension finie. Exemples et applications.
- Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
- Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel hermitien (de dimension finie).
- Distances dans un espace euclidien. Exemple et applications
- Classifications des isométries d'un espace euclidien. Exemples
- Systèmes d'équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
- Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie ( sur un corps quelconque). Orthogonalité, isotropie. Applications.
- Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
- Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
- Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
- Ensembles au plus dénombrables. Exemples et applications
- Exemples d'équations en arithmétiques